相對論-動態運動狀態時質點之質量計算

動量守恆

為了作到守恆，相對性的動量必須被重定義為：

這裡v是速度，c是光速。

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動態質量：質量及速度、動能

    質量與速度關係式 

  

      即 m＝m₀/[1-（v/c）²]^0.5

    m₀是靜止質量，m是質點以速度V飛行時的質量，而c為光速。

    公式證明

    
     <終極公式>

給速度v或v/c ⇔⇄ 求質量為靜止質量的倍數 ⇔⇄ 求動能Ek

在近代物理中，質量被認為具有不能產生也無法消滅的本質。

而愛因斯坦說明了質量與能量是相當的，同時質能是可以互換的。

由高能量粒子實驗顯示粒子的質量與運動速度有關，速度越大，質量越大。故必須區別粒子的靜止質量（粒子靜止時的質量）與運動時的質量。

若質點速度和光速相較下非常小，則動能公式為：

     動能K.E.＝1/2mv²

質點靜止質量m₀，其能量為m₀c²；而速度為V的運動質點其質量為m，其能量為mc²。此二能量差即為運動能量或質點的動能（K.E.），也就是：

動能 K.E.＝mc²－m₀c² ， Ek＝（m－m₀）c²

		電子		質子
動能	總能量 （MeV）	相對於光速的速度（V/C）	相對於靜止質量的質量	相對於光的速度	相對於靜止質量的質量
10keV	0.521	0.195	1.020	0.0046	1.0000
100keV	0.611	0.542	1.196	0.0147	1.0001
200keV	0.711	0.695	1.962	0.0208	1.0002
500keV	1.011	0.868	1.979	0.0326	1.0005
1MeV	1.511	0.941	2.957	0.0465	1.0011
2MeV	2.511	0.979	4.916	0.0657	1.0021
5MeV	5.511	0.995	10.790	0.1026	1.0053
10MeV	10.511	0.998817	20.580	0.1451	1.0107
20MeV	20.511	0.999689	40.160	0.2033	1.0213
50MeV	50.511	0.999949	99.010	0.3141	1.0533
100MeV	100.511	0.999987	192.310	0.4283	1.1066

題型A  給速度v或v/c ⇨ 求質量為靜止質量的倍數 ⇨ 求動能Ek

A-1 給速度v或v/c ⇨ 求質量為靜止質量的倍數

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<補充>速度越快，質量越大；速度越慢，質量越小。

2.70×10⁸ m/s → v/c＝0.9   m＝2.294 m₀   0.511MeV×1.294 ＝0.661 MeV

2.40×10⁸ m/s → v/c＝0.8   m＝1.6667 m₀  0.511MeV×0.6667＝0.34  MeV

2.10×10⁸ m/s → v/c＝0.7   m＝1.4 m₀     0.511MeV×0.4   ＝0.2   MeV

1.80×10⁸ m/s → v/c＝0.6   m＝1.25 m₀    0.511MeV×0.25  ＝0.127 MeV

1.50×10⁸ m/s → v/c＝0.5   m＝1.1547 m₀  0.511MeV×0.1547＝0.08  MeV

< 1 > 給前進速度與光速的比 v/c ⇨ 求質量為靜止質量的倍數

例1-10 一質點前進速度是光速的98% ，質量變為靜止質量幾倍

37.【4】某一質點，若其前進的速度是光速的 98%，則知其質量變為靜止質量的幾倍？(①1/5②1/2③2④5)。【92.1.放射師檢覈】

< 2 > 給前進速度 v ⇨ 求質量為靜止質量的倍數

 例1-9            電子速度2.70×10⁸ m/s，質量變為靜止質量幾倍？

（靜止電子：9.109×10^－31kg×C²＝81.87×10^－15J÷（1.6×10^－19 C）＝0.511MeV）

答：2.294倍

運動動能 Ek＝（m_m－m₀）c²

A-2 給速度v或v/c ⇨ 求質量為靜止質量的倍數 ⇨ 求動能Ek

<補充>

2.70×10⁸ m/s → v/c＝0.9   m＝2.294 m₀   0.511MeV×1.294 ＝0.661 MeV

2.40×10⁸ m/s → v/c＝0.8   m＝1.6667 m₀  0.511MeV×0.6667＝0.34  MeV

2.10×10⁸ m/s → v/c＝0.7   m＝1.4 m₀     0.511MeV×0.4   ＝0.2   MeV

1.80×10⁸ m/s → v/c＝0.6   m＝1.25 m₀    0.511MeV×0.25  ＝0.127 MeV

1.50×10⁸ m/s → v/c＝0.5   m＝1.1547 m₀  0.511MeV×0.1547＝0.08  MeV

例1-10            電子速度2.70×10⁸ m/s 開始時動能為多少MeV

（靜止電子：9.109×10^－31kg×C²＝81.87×10^－15J÷（1.6×10^－19 C）＝0.511MeV）

答：Ek＝0.661MeV

運動動能 Ek＝（m_m－m₀）c²

m＝2.294 m₀

Ek＝（2.294 m₀ － m₀）c²

  ＝1.294m c² ＝1.294×0.511MeV＝0.661MeV

題型B給動能Ek ＝（）MeV⇨求加速後質量為靜止質量的幾倍? ⇨ 求速度v或v/c

B-1給動能Ek ＝（）MeV⇨求加速後質量為靜止質量的幾倍?

m/m₀＝（Ek+0.511）÷ 0.511＝□

<證明>

依據質能守恆

總能量＝動能+電子靜止質量＝Ek＋0.511MeV

後來總能量÷原來總能量＝m c²÷ m₀ c²＝m ÷ m₀＝m/m₀

 m/m₀＝（Ek+0.511）÷ 0.511＝□

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    <補充>能量轉移、能量吸收、制動、散射→合併為光子能量

     1MeV (1+0.511)/0.511= 2.96

     2MeV (2+0.511)/0.511= 4.91

     3MeV (3+0.511)/0.511= 6.87

     4MeV (4+0.511)/0.511= 8.83

     5MeV (5+0.511)/0.511=10.78

     6MeV (6+0.511)/0.511=12.74

     7MeV (7+0.511)/0.511=14.70

     8MeV (8+0.511)/0.511=16.66

     9MeV (9+0.511)/0.511=18.61

    10MeV (10+0.511)/0.511=20.57

    11MeV (11+0.511)/0.511=22.53

12MeV (12+0.511)/0.511=24.48

13MeV (13+0.511)/0.511=26.44

14MeV (14+0.511)/0.511=28.40

15MeV (15+0.511)/0.511=30.35

16MeV (16+0.511)/0.511=32.31

17MeV (17+0.511)/0.511=34.27

18MeV (18+0.511)/0.511=36.23

19MeV (19+0.511)/0.511=38.18

20MeV (20+0.511)/0.511=40.14

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例1-11 一電子動能20MeV相對質量m為靜止質量m₀幾倍（1 e^－＝0.511MeV）【由下而上計算】

答：40.1倍

<法1> （20+0.511）÷0.511＝20.511÷0.511＝40.14

<法2> 20÷0.511＝39.1

Ek＝20MeV

＝39.1×0.511MeV＝（40.1-1）×0.511MeV＝（40.1-1）m₀×c²

＝（40.1m₀-m₀）×c²

    ＝（m - m₀）×c²

  m＝ 40.14 m₀

<法3>

m＝40.1 m₀

Ek＝（40.1 m₀ － 1 m₀）c²

  ＝39.1 m c² ＝39.1×0.511MeV＝20MeV

→20MeV÷0.511＝39.1

38.【2】在醫用加速器中被加速的電子，其速度很接近光速，所以依照愛因斯坦的質能轉換公式，6 MeV 的電子加速後質量(m)是靜止質量(m0)的多少倍？(①1.27  倍②12.7  倍③127  倍④1270 倍)。【91 放射師專技高考】

<法1> （6+0.511）÷0.511

     ＝6.511÷0.511

     =12.74

<法2> 6÷0.511＝11.74

Ek＝6MeV

＝11.74×0.511MeV＝（12.74-1）m₀×c²

  m＝12.74 m₀

39.【4】若一電子具有 20  MeV 之動能，則其相對質量 m 約為靜止質量 m0 之幾倍？(①10②20③30④40)。【92.2.放射師專技高考】

<法1> （20+0.511）÷0.511

     ＝20.511÷0.511

     ＝40.14

<法2> 20÷0.511＝39.1

Ek＝20MeV

＝39.1×0.511MeV＝（40.1-1）×0.511MeV＝（40.1-1）m₀×c²

  m＝ 40.14 m₀

40.【1】動能為 200 keV 的 δ 射線，其質量為靜止電子的幾倍？(①1.39②2.39③3.39④4.39)。【97.2.輻防師專業】

<法1> （0.2+0.511）÷0.511

     ＝0.711÷0.511

     ＝1.39

<法2> 0.2÷0.511＝0.39

Ek＝0.2MeV

＝0.39×0.511MeV＝（1.39-1）×0.511MeV＝（1.39-1）m₀×c²

  m＝ 1.39 m₀

41.【2】當電子的動能=1.02 MeV時，請問其總能是靜止質能的幾倍？(①2 ②3 ③5 ④10)。【96.1.放射師專技高考】

<法1> （1.02+0.511）÷0.511

     ＝1.531÷0.511

     ＝3

<法2> 1.02÷0.511＝2

Ek＝1.02MeV

＝2×0.511MeV＝（3-1）×0.511MeV＝（3-1）m₀×c²

  m＝ 3 m₀

B-2 給動能Ek ＝（）MeV⇨求加速後質量為靜止質量的幾倍? ⇨ 求速度v或v/c

m/m₀＝（Ek+0.511）÷ 0.511＝□

m＝□ m₀

例1-11            質子靜止質量為936MeV/c² 加速至0.936MeV則速度為多少公里?

答：0.134×10⁸m/s＝1.34×10⁴ km/s

 V ＝0.0447×2.998×10⁸m/s＝0.134×10⁸m/s＝1.34×10⁴×10³ m/s＝1.34×10⁴ km/s

m＝1.001 m₀

Ek＝（1.001 m₀ － m₀）c²

  ＝0.001 m c² ＝0.001 × 936 MeV＝0.936 MeV

→0.936 MeV ÷ 936＝ 0.001

44.【3】加速器加速質子能量至 0.936 MeV，質子的靜止質量為936 MeV/c2，則質子的速度為每秒：(①600 公里②9,490 公里③13,420 公里④300,000 公里)。【93.2.放射師檢覈】

<方法一>（Ek＋P）÷ P

        （0.936＋936）÷936＝1.001

        m＝1.001 m₀

V ＝0.0447×2.998×10⁸m/s＝0.134×10⁸m/s＝1.34×10⁴×10³ m/s＝1.34×10⁴ km/s

45.【2】一靜止電子經過 150 kV 的電壓加速後，下列敘述何者正確？(①總能=511 keV②動能=150 keV③質量=9.1×10-31  kg④速度約小於光速的一半)。【93.1.放射師專技高考】

（1）動能=150 keV＝0.15MeV

（2）總能=150 keV＋0.511MeV＝0.15 MeV＋0.511MeV＝0.661MeV

（3）0.661÷0.511＝1.294

                 m＝1.294 m₀

 V ＝0.634×2.998×10⁸m/s＝1.902×10⁸m/s＝1.902×10⁵×10³ m/s＝1.902×10⁵ km/s